integral de (x^{-2})/(sqrt((2-x)(2+x)))

Solução

\int \frac{x ^{- 2}}{( 2 - x ) ( 2 + x )} d x

- \frac{4 - x ^{2}}{4 x} + C

Passos da solução

\int \frac{x ^{- 2}}{( 2 - x ) ( 2 + x )} d x

Multiplicar pelo conjugado de

2 - x : \frac{4 - x ^{2}}{2 + x}

= \int \frac{x ^{- 2}}{\frac{4 - x ^{2}}{2 + x} ( 2 + x )} d x

Simplificar

\frac{x ^{- 2}}{\frac{4 - x ^{2}}{2 + x} ( 2 + x )} : \frac{1}{x ^{2} 4 - x ^{2}}

= \int \frac{1}{x ^{2} 4 - x ^{2}} d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \int \frac{cot ( u )}{4 cos ( u ) sin ( u )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{cot ( u )}{cos ( u ) sin ( u )} d u

Simplificar

\frac{cot ( u )}{cos ( u ) sin ( u )} : csc^{2} (u)

= \frac{1}{4} \cdot \int csc^{2} (u) d u

Aplicar as regras de integração:

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= \frac{1}{4} (- cot (u))

Substituir na equação

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

= \frac{1}{4} (- cot (arcsin (\frac{1}{2} x)))

Simplificar

\frac{1}{4} (- cot (arcsin (\frac{1}{2} x))) : - \frac{4 - x ^{2}}{4 x}

= - \frac{4 - x ^{2}}{4 x}

Adicionar uma constante à solução

= - \frac{4 - x ^{2}}{4 x} + C

\int (10 + 2 x^{2} + 2 y^{2}) d x

\int v^{2} + 2 v d v

\int \frac{x + 1}{2 x + 3} d x

\int x^{2} 2^{- x} d x

\int \frac{1 + x}{1 + 3 x} d x