integral of (1-2sin(θ))^2

解答

\int (1 - 2 sin (θ))^{2} d θ

3 θ + 4 cos (θ) - sin (2 θ) + C

求解步骤

\int (1 - 2 sin (θ))^{2} d θ

因式分解

1 - 2 sin (θ) : - (- 1 + 2 sin (θ))

= \int (- (- 1 + 2 sin (θ)))^{2} d θ

化简

(- (- 1 + 2 sin (θ)))^{2} : (- 1 + 2 sin (θ))^{2}

= \int (- 1 + 2 sin (θ))^{2} d θ

乘开

(- 1 + 2 sin (θ))^{2} : 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ)

= \int 1 - 4 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) d θ

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d θ - \int 4 sin (θ) d θ + \int 4 sin^{2} (θ) d θ

\int 1 d θ = θ

\int 4 sin (θ) d θ = - 4 cos (θ)

\int 4 sin^{2} (θ) d θ = 2 θ - sin (2 θ)

= θ - (- 4 cos (θ)) + 2 θ - sin (2 θ)

化简

= 3 θ + 4 cos (θ) - sin (2 θ)

解答补常数

= 3 θ + 4 cos (θ) - sin (2 θ) + C

\int \frac{1}{( 3 + sin ( x ) )} d x

\int \frac{ln ( x )}{x ( 6 - ln ( x ) )} d x

\int y e^{x y} - \frac{1}{y} d x

\int x \cdot x^{2} + 9 d x

\int 2 x^{- \frac{3}{2}} d x