integral of x/((1+x^2)^2)arctan(x)

Lösung

\int \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} arctan (x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} arctan (x) d x

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \int \frac{x arctan ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u tan ( u )}{sec ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} u sin (2 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u sin (2 u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - \int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u)

\int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u = - \frac{1}{4} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - (- \frac{1}{4} sin (2 u)))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) - (- \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))))

Vereinfache

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C

\int x^{2} e^{x^{3} - 8} d x

\int - 8 x sin (4 x^{2} - 7) d x

\int (7 x^{3} + 9 3 x^{2}) d x

\int \frac{2 - e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x

\int 4 (2 x - 9)^{3} d x