integral of (x^3-x-3)/(x^2+x-2)

Lösung

\int \frac{x ^{3} - x - 3}{x ^{2} + x - 2} d x

\frac{x ^{2}}{2} - x + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + ln \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} - ln \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{3} - x - 3}{x ^{2} + x - 2} d x

Multipliziere aus

\frac{x ^{3} - x - 3}{x ^{2} + x - 2} : \frac{x ^{3}}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x ^{2} + x - 2} - \frac{3}{x ^{2} + x - 2}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + x - 2} d x - \int \frac{x}{x ^{2} + x - 2} d x - \int \frac{3}{x ^{2} + x - 2} d x

\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + x - 2} d x = \frac{x ^{2}}{2} - x + \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{8}{3} ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{x}{x ^{2} + x - 2} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{2}{3} ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{3}{x ^{2} + x - 2} d x = - ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x

= \frac{x ^{2}}{2} - x + \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{8}{3} ln ∣ x + 2 ∣ - (\frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{2}{3} ln ∣ x + 2 ∣) - (- ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x)

Vereinfache

\frac{x ^{2}}{2} - x + \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{8}{3} ln ∣ x + 2 ∣ - (\frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{2}{3} ln ∣ x + 2 ∣) - (- ln \frac{4}{3} + \frac{2}{3} x + ln - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} x) : \frac{x ^{2}}{2} - x + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + ln \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} - ln \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}

= \frac{x ^{2}}{2} - x + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + ln \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} - ln \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x ^{2}}{2} - x + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + ln \frac{2}{3} x + \frac{4}{3} - ln \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + C

\int (2 - 3 x)^{8} d x

\int x tanh (x^{2} + 1) d x

\int x (cos (x))^{3} d x

\int x^{3} ln (1 + x^{2}) d x

\int (4 + x)^{\frac{1}{2}} d x