English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt >

integral of 1/((x^2+y^2)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d x

\frac{1}{2 y ^{3}} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d x

y^{2} + x^{2} = y^{2} (1 + \frac{x ^{2}}{y ^{2}})

= \int \frac{1}{( y ^{2} ( 1 + \frac{x ^{2}}{y ^{2}} ) ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{y ^{3} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{y ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y})))

Vereinfache

\frac{1}{y ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y}))) : \frac{1}{2 y ^{3}} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y})))

= \frac{1}{2 y ^{3}} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 y ^{3}} (arctan (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{y}))) + C

\int \frac{- 1}{[ ( a x ) ^{2} - b ^{2} ] ^{\frac{3}{2}}} d x

\int (x + 1)^{10} d x

\int \frac{8}{2 x - 1} d x

\int (\frac{( y ^{2} - 1 )}{y})^{2} d y

\int sin (x) - x d x