integral of 1/(e^{-x)-2}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - 2} d x

- \frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - 2} d x

Faktorisiere

e^{- x} - 2 : - (- e^{- x} + 2)

= \int \frac{1}{- ( - e ^{- x} + 2 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- e ^{- x} + 2} d x

Wende U-Substitution an

= - \int - \frac{1}{u ( - u + 2 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u ( - u + 2 )} d u)

Vervollständige das Quadrat

u (- u + 2) : - (u - 1)^{2} + 1

= - (- \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 1} d u)

Wende U-Substitution an

= - (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= - (- (\frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 - 1 ∣}{2}))

Vereinfache

- (- (\frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{- x} - 1 - 1 ∣}{2})) : - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2

= - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln e^{- x} - 2 + C

\int \frac{3}{v ^{2} + 1} d v

\int \frac{( x + 3 )}{( 2 x ^{3} - 8 x )} d x

\int \frac{1}{2 z ^{2} - 2 z + 1} d z

\int (\frac{1}{sin ^{2} ( x )} + \frac{2}{cos ^{2} ( x )}) d x

\int \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{2} + 2} d x