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integral of 1/(6x^2+7x+2)

Lösung

\int \frac{1}{6 x ^{2} + 7 x + 2} d x

- ln ∣ 12 x + 8 ∣ + ln ∣ 12 x + 6 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{6 x ^{2} + 7 x + 2} d x

Vervollständige das Quadrat

6 x^{2} + 7 x + 2 : 6 (x + \frac{7}{12})^{2} - \frac{1}{24}

= \int \frac{1}{6 ( x + \frac{7}{12} ) ^{2} - \frac{1}{24}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{24}{144 u ^{2} - 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \int \frac{1}{144 u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

144 u^{2} - 1 : - (- 144 u^{2} + 1)

= 24 \cdot \int \frac{1}{- ( - 144 u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 (- \int \frac{1}{- 144 u ^{2} + 1} d u)

Wende integrale Substitution an

= 24 (- \int \frac{1}{12 ( - v ^{2} + 1 )} d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 (- \frac{1}{12} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 24 (- \frac{1}{12} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 24 (- \frac{1}{12} (\frac{ln 12 ( x + \frac{7}{12} ) + 1}{2} - \frac{ln 12 ( x + \frac{7}{12} ) - 1}{2}))

Vereinfache

24 (- \frac{1}{12} (\frac{ln 12 ( x + \frac{7}{12} ) + 1}{2} - \frac{ln 12 ( x + \frac{7}{12} ) - 1}{2})) : - ln ∣ 12 x + 8 ∣ + ln ∣ 12 x + 6 ∣

= - ln ∣ 12 x + 8 ∣ + ln ∣ 12 x + 6 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ 12 x + 8 ∣ + ln ∣ 12 x + 6 ∣ + C

\int \frac{x}{x ^{2} x ^{2} + 4} d x

\int x y d x

\int \frac{2 \cdot ln ( x )}{x} d x

\int x^{2} + e^{x^{3}} d x

\int tan^{5} (\frac{x}{11}) d x