integral from sqrt(x) to 2 of 1/(y^3+1)

解

\int_{x}^{2} \frac{1}{y ^{3} + 1} d y

\frac{1}{3} (ln (3) - ln x + 1) + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2} ln (\frac{12}{∣ 4 x - 4 x + 4 ∣}) + 3 (\frac{π}{3} - arctan (\frac{2 x - 1}{3})))

解答ステップ

\int_{x}^{2} \frac{1}{y ^{3} + 1} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{y ^{3} + 1} : \frac{1}{3 ( y + 1 )} + \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )}

= \int_{x}^{2} \frac{1}{3 ( y + 1 )} + \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int_{x}^{2} \frac{1}{3 ( y + 1 )} d y + \int_{x}^{2} \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y

\int_{x}^{2} \frac{1}{3 ( y + 1 )} d y = \frac{1}{3} (ln (3) - ln x + 1)

\int_{x}^{2} \frac{- y + 2}{3 ( y ^{2} - y + 1 )} d y = \frac{1}{3} (- \frac{1}{2} ln (\frac{12}{∣ 4 x - 4 x + 4 ∣}) + 3 (\frac{π}{3} - arctan (\frac{2 x - 1}{3})))

= \frac{1}{3} (ln (3) - ln x + 1) + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2} ln (\frac{12}{∣ 4 x - 4 x + 4 ∣}) + 3 (\frac{π}{3} - arctan (\frac{2 x - 1}{3})))