integral from 0 to y of x^2e^{-xy}

解

\int_{0}^{y} x^{2} e^{- x y} d x

- y e^{- y^{2}} + \frac{2 ( - y ^{2} e ^{- y^{2}} - e ^{- y^{2}} ) + 2}{y ^{3}}

解答ステップ

\int_{0}^{y} x^{2} e^{- x y} d x

部分積分を適用する

= [- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} - \int - e^{- y x} \frac{2}{y} x d x]_{0}^{y}

\int - e^{- y x} \frac{2}{y} x d x = - \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x})

= [- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} - (- \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x}))]_{0}^{y}

簡素化

= [- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} + \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x})]_{0}^{y}

限度を計算する:

- y e^{- y^{2}} + \frac{2}{y ^{3}} (- y^{2} e^{- y^{2}} - e^{- y^{2}}) + \frac{2}{y ^{3}}

= - y e^{- y^{2}} + \frac{2}{y ^{3}} (- y^{2} e^{- y^{2}} - e^{- y^{2}}) + \frac{2}{y ^{3}}

簡素化

= - y e^{- y^{2}} + \frac{2 ( - y ^{2} e ^{- y^{2}} - e ^{- y^{2}} ) + 2}{y ^{3}}