integral from 0 to 2pi of θsin(nθ)

解

\int_{0}^{2 π} θ sin (n θ) d θ

\frac{sin ( 2 πn ) - 2 πn cos ( 2 πn )}{n ^{2}}

解答ステップ

\int_{0}^{2 π} θ sin (n θ) d θ

部分積分を適用する

= [\frac{1}{n} (- θ cos (n θ) - n \cdot \int - \frac{1}{n} cos (n θ) d θ)]_{0}^{2 π}

\int - \frac{1}{n} cos (n θ) d θ = - \frac{1}{n ^{2}} sin (n θ)

= [\frac{1}{n} (- θ cos (n θ) - n (- \frac{1}{n ^{2}} sin (n θ)))]_{0}^{2 π}

簡素化

[\frac{1}{n} (- θ cos (n θ) - n (- \frac{1}{n ^{2}} sin (n θ)))]_{0}^{2 π} : [\frac{1}{n} (- θ cos (n θ) + \frac{1}{n} sin (n θ))]_{0}^{2 π}

= [\frac{1}{n} (- θ cos (n θ) + \frac{1}{n} sin (n θ))]_{0}^{2 π}

限度を計算する:

\frac{1}{n} (\frac{1}{n} sin (2 πn) - 2 π cos (2 πn))

= \frac{1}{n} (\frac{1}{n} sin (2 πn) - 2 π cos (2 πn))

簡素化

= \frac{sin ( 2 πn ) - 2 πn cos ( 2 πn )}{n ^{2}}