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integral de 0 a pi/4 de 2/(1+sin(2x))

Solución

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2}{1 + sin ( 2 x )} d x

1

Pasos de solución

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2}{1 + sin ( 2 x )} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1 + sin ( 2 x )} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2 ( 1 + sin ( u ) )} d u

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2 ( 1 + sin ( u ) )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1 + sin ( u )} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int_{0}^{1} \frac{2}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} \frac{2}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Completar el cuadrado

1 + v^{2} + 2 v : (v + 1)^{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{( v + 1 ) ^{2}} d v

Aplicar integración por sustitución

: \int_{1}^{2} \frac{1}{w ^{2}} d w

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int_{1}^{2} \frac{1}{w ^{2}} d w

Aplicar la regla de la potencia

: [- \frac{1}{w}]_{1}^{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 [- \frac{1}{w}]_{1}^{2}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 [- \frac{1}{w}]_{1}^{2} : 2 [- \frac{1}{w}]_{1}^{2}

= 2 [- \frac{1}{w}]_{1}^{2}

Calcular los limites:

\frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2}

Simplificar

= 1

\int_{3}^{5} 2 d x

\int_{0}^{9} 2 x - 9 d x

\int_{0}^{x} t e^{2 t} d t

\int_{- 1}^{\infty} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

\int_{- \frac{π}{4}}^{0} x sec^{2} (x) d x