интеграл sin^3(x+2)

Решение

интеграл

sin^{3} (x + 2)

8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C

Шаги решения

\int sin^{3} (x + 2) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int 8 cos^{3} (x) sin^{3} (x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int cos^{3} (x) sin^{3} (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 8 \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{3} (x) d x

Применить подстановку интеграла

: \int - u^{3} (1 - u^{2}) d u

= 8 \cdot \int - u^{3} (1 - u^{2}) d u

Расширить

- u^{3} (1 - u^{2}) : - u^{3} + u^{5}

= 8 \cdot \int - u^{3} + u^{5} d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (- \int u^{3} d u + \int u^{5} d u)

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

= 8 (- \frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{6}}{6})

Делаем обратную замену

u = cos (x)

= 8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6})

Добавить константу к решению

= 8 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C