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integral 1/((x^2+a^2)^2)

Solução

integral

\frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{2}}

\frac{1}{2 a ^{3}} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a}))) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{2}} d x

x^{2} + a^{2} = a^{2} (\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + 1)

= \int \frac{1}{( a ^{2} ( \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + 1 ) ) ^{2}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{a ^{3} ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Substituir na equação

= \frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a})))

Simplificar

\frac{1}{a ^{3}} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a}))) : \frac{1}{2 a ^{3}} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{2 a ^{3}} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a})))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{2 a ^{3}} (arctan (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{a}))) + C

lo g_{10} (1 + x)

(x + y)^{2}

\frac{k \cdot x}{( 1 + x ^{2} )}

lo g_{10} (x + 2)

lo g_{10} (x + 1)