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integral de 1/(x^2-ax)

Solución

\int \frac{1}{x ^{2} - a x} d x

\frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{x ^{2} - a x} d x

Factorizar

\frac{1}{x ^{2} - a x}

= \int \frac{1}{x ( x - a )} d x

x - a = a (\frac{x}{a} - 1)

= \int \frac{1}{x a ( \frac{x}{a} - 1 )} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{x ( \frac{x}{a} - 1 )} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Tomar la fracción parcial de

\frac{1}{u ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= \frac{1}{a} \cdot \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a} (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= \frac{1}{a} (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

Sustituir en la ecuación

u = \frac{x}{a}

= \frac{1}{a} (- ln \frac{x}{a} + ln \frac{x}{a} - 1)

Aplicar las propiedades de los valores absolutos:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{x}{a} = \frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1)

Agregar una constante a la solución

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1) + C

\int (x^{2} - 1) cos (2 x) d x

\int 2 x (x + x) d x

\int \frac{4 x + 3}{x ^{3} + 2 x ^{2} + x} d x

\int \frac{1}{x e ^{x}} d x

\int (2 + 3 x^{2}) cos (3 x) d x