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integral of 1/2 sqrt(1-5x^2)

Lösung

\int \frac{1}{2} 1 - 5 x^{2} d x

\frac{1}{4 5} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2} 1 - 5 x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - 5 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{5} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (5 x)

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x))) : \frac{1}{4 5} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x)))

= \frac{1}{4 5} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4 5} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x))) + C

\int \frac{x}{( x + 2 ) ^{7}} d x

\int (8 x + 1) cos (\frac{x}{4}) d x

\int \frac{1 0 ^{6 x} + 1}{1 0 ^{3 x}} d x

\int 2 x (x^{2} - 3)^{2} d x

\int 5 t^{\frac{3}{2}} d t