integral of y/((x+y)^2)

Lösung

\int \frac{y}{( x + y ) ^{2}} d y

ln ∣ x + y ∣ + \frac{x}{x + y} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y}{( x + y ) ^{2}} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - x}{u ^{2}} d u

Multipliziere aus

\frac{u - x}{u ^{2}} : \frac{1}{u} - \frac{x}{u ^{2}}

= \int \frac{1}{u} - \frac{x}{u ^{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{x}{u ^{2}} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{x}{u ^{2}} d u = - \frac{x}{u}

= ln ∣ u ∣ - (- \frac{x}{u})

Setze in

u = x + y

ein

= ln ∣ x + y ∣ - (- \frac{x}{x + y})

Vereinfache

= ln ∣ x + y ∣ + \frac{x}{x + y}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ x + y ∣ + \frac{x}{x + y} + C

\int \frac{tan ( x )}{sin ^{2} ( x )} d x

\int \frac{x + 3}{3 - 2 x - x ^{2}} d x

\int 5 y sin (4 x) d x

\int \frac{2 ( x ^{5} - x ^{3} + 4 )}{x ^{5}} d x

\int (x + 2)^{2} ln (5 x) d x