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人気のある微分積分 >

integral of (x^2-6x+9)/(sqrt(x^2-6x+25))

解

\int \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 6 x + 25} d x

解

16 (- ln (\frac{1}{4} x - 3 + x^{2} - 6 x + 25) + \frac{1}{32} (x - 3) x^{2} - 6 x + 25 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 3 + x ^{2} - 6 x + 25}{4})) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 6 x + 25} d x

平方完成する

x^{2} - 6 x + 9 : (x - 3)^{2}

= \int \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x ^{2} - 6 x + 25} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 16} d u

三角関数による置換を適用する

= \int 16 tan^{2} (v) sec (v) d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= 16 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

拡張

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 16 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 16 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代用を戻す

= 16 (- ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))))

簡素化

16 (- ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 3))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 3)))) : 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 3 + x^{2} - 6 x + 25) + \frac{1}{32} (x - 3) x^{2} - 6 x + 25 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 3 + x ^{2} - 6 x + 25}{4}))

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 3 + x^{2} - 6 x + 25) + \frac{1}{32} (x - 3) x^{2} - 6 x + 25 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 3 + x ^{2} - 6 x + 25}{4}))

定数を解答に追加する

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 3 + x^{2} - 6 x + 25) + \frac{1}{32} (x - 3) x^{2} - 6 x + 25 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 3 + x ^{2} - 6 x + 25}{4})) + C

グラフ

人気の例

integral of (-x^2)/(x^4-1)

\int \frac{- x ^{2}}{x ^{4} - 1} d x

integral of 4sinh(2x)

\int 4 sinh (2 x) d x

integral of ((4^{1+x}-8^{1+x})/(2^{2x)})

\int (\frac{4 ^{1 + x} - 8 ^{1 + x}}{2 ^{2 x}}) d x

integral of (x-1)^3-(x-1)

\int (x - 1)^{3} - (x - 1) d x

integral of 3/(2x^2+8x+10)

\int \frac{3}{2 x ^{2} + 8 x + 10} d x