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人気のある微分積分 >

integral of ((x-1))/(3x^2-4x+3)

解

\int \frac{( x - 1 )}{3 x ^{2} - 4 x + 3} d x

解

\frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5}) + C

解答ステップ

\int \frac{x - 1}{3 x ^{2} - 4 x + 3} d x

平方完成する

3 x^{2} - 4 x + 3 : 3 (x - \frac{2}{3})^{2} + \frac{5}{3}

= \int \frac{x - 1}{3 ( x - \frac{2}{3} ) ^{2} + \frac{5}{3}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{3 u - 1}{9 u ^{2} + 5} d u

拡張

\frac{3 u - 1}{9 u ^{2} + 5} : \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} - \frac{1}{9 u ^{2} + 5}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} d u - \int \frac{1}{9 u ^{2} + 5} d u

\int \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} d u = \frac{1}{6} ln 9 u^{2} + 5

\int \frac{1}{9 u ^{2} + 5} d u = \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} u)

= \frac{1}{6} ln 9 u^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} u)

代用を戻す

u = x - \frac{2}{3}

= \frac{1}{6} ln 9 (x - \frac{2}{3})^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (x - \frac{2}{3}))

簡素化

\frac{1}{6} ln 9 (x - \frac{2}{3})^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (x - \frac{2}{3})) : \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5})

= \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5}) + C

グラフ

人気の例

integral of 2/(sqrt(11+10w-w^2))

\int \frac{2}{11 + 10 w - w ^{2}} d w

integral of (cos(x))/(sin^2(x)-sin(x))

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) - sin ( x )} d x

integral of 3x^2*cos(x)

\int 3 x^{2} \cdot cos (x) d x

integral of 1/3 sin^3(x)cos^3(x)

\int \frac{1}{3} sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

integral of 2ln(3x+1)

\int 2 ln (3 x + 1) d x