integral of (2x^2+x-3)/(x^3+2x^2-7x+4)

解

\int \frac{2 x ^{2} + x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 7 x + 4} d x

ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x + 4 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{2 x ^{2} + x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 7 x + 4} d x

簡素化

\frac{2 x ^{2} + x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 7 x + 4} : \frac{2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 4 )}

= \int \frac{2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 4 )} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 4 )} : \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 4}

= \int \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 4} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 4} d x

\int \frac{1}{x - 1} d x = ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{1}{x + 4} d x = ln ∣ x + 4 ∣

= ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x + 4 ∣

定数を解答に追加する

= ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x + 4 ∣ + C