integral of (sec^6(2r))/(tan^2(2r))

Lời Giải

\int \frac{sec ^{6} ( 2 r )}{tan ^{2} ( 2 r )} d r

\frac{1}{2} (- cot (2 r) + 2 tan (2 r) + \frac{1}{3} tan^{3} (2 r)) + C

Các bước giải pháp

\int \frac{sec ^{6} ( 2 r )}{tan ^{2} ( 2 r )} d r

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= \int \frac{1}{cos ^{4} ( 2 r ) sin ^{2} ( 2 r )} d r

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= \int \frac{1}{2 cos ^{4} ( u ) sin ^{2} ( u )} d u

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ^{4} ( u ) sin ^{2} ( u )} d u

Áp dụng phép thay thế lượng giác

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{v ^{2}} d v

Mở rộng

\frac{( 1 + v ^{2} ) ^{2}}{v ^{2}} : \frac{1}{v ^{2}} + 2 + v^{2}

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} + 2 + v^{2} d v

Áp dụng quy tắc tổng:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{v ^{2}} d v + \int 2 d v + \int v^{2} d v)

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

\int 2 d v = 2 v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{v} + 2 v + \frac{v ^{3}}{3})

Thay thế trở lại

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{tan ( 2 r )} + 2 tan (2 r) + \frac{tan ^{3} ( 2 r )}{3})

Rút gọn

\frac{1}{2} (- \frac{1}{tan ( 2 r )} + 2 tan (2 r) + \frac{tan ^{3} ( 2 r )}{3}) : \frac{1}{2} (- cot (2 r) + 2 tan (2 r) + \frac{1}{3} tan^{3} (2 r))

= \frac{1}{2} (- cot (2 r) + 2 tan (2 r) + \frac{1}{3} tan^{3} (2 r))

Thêm một hằng số vào Lời giải

= \frac{1}{2} (- cot (2 r) + 2 tan (2 r) + \frac{1}{3} tan^{3} (2 r)) + C

\int 2 x sin^{2} (x^{2}) d x

\int \frac{x}{( 4 x + 9 ) ^{2}} d x

\int sin^{2} (\frac{x}{b}) cos^{2} (\frac{x}{b}) d x

\int cosh (2 x) sinh^{2} (2 x) d x

\int 5 sec^{2} (x) e^{t a n (x)} d x