integral of pi/2 x^2e^{pix}

解

\int \frac{π}{2} x^{2} e^{π x} d x

\frac{1}{2} e^{π x} x^{2} - \frac{1}{π} e^{π x} x + \frac{1}{π ^{2}} e^{π x} + C

解答ステップ

\int \frac{π}{2} x^{2} e^{π x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{π}{2} \cdot \int x^{2} e^{π x} d x

部分積分を適用する

= \frac{π}{2} (\frac{1}{π} e^{π x} x^{2} - \int \frac{2}{π} e^{π x} x d x)

\int \frac{2}{π} e^{π x} x d x = \frac{2}{π} (\frac{1}{π} e^{π x} x - \frac{1}{π ^{2}} e^{π x})

= \frac{π}{2} (\frac{1}{π} e^{π x} x^{2} - \frac{2}{π} (\frac{1}{π} e^{π x} x - \frac{1}{π ^{2}} e^{π x}))

簡素化

\frac{π}{2} (\frac{1}{π} e^{π x} x^{2} - \frac{2}{π} (\frac{1}{π} e^{π x} x - \frac{1}{π ^{2}} e^{π x})) : \frac{1}{2} e^{π x} x^{2} - \frac{1}{π} e^{π x} x + \frac{1}{π ^{2}} e^{π x}

= \frac{1}{2} e^{π x} x^{2} - \frac{1}{π} e^{π x} x + \frac{1}{π ^{2}} e^{π x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} e^{π x} x^{2} - \frac{1}{π} e^{π x} x + \frac{1}{π ^{2}} e^{π x} + C