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受欢迎的微积分 >

integral of 1/(e^m+4e^{-m)}

解答

\int \frac{1}{e ^{m} + 4 e ^{- m}} d m

解答

\frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{m}}{2}) + C

求解步骤

\int \frac{1}{e ^{m} + 4 e ^{- m}} d m

分解

\frac{1}{e ^{m} + 4 e ^{- m}}

= \int \frac{1}{e ^{- m} ( e ^{2 m} + 4 )} d m

使用指数法则:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- m} ( e ^{2 m} + 4 )} = e^{m} \frac{1}{( e ^{2 m} + 4 )}

= \int e^{m} \frac{1}{e ^{2 m} + 4} d m

化简

e^{m} \frac{1}{e ^{2 m} + 4} : \frac{e ^{m}}{e ^{2 m} + 4}

= \int \frac{e ^{m}}{e ^{2 m} + 4} d m

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

使用换元积分法

= \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} arctan (v)

代回

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{m}}{2})

解答补常数

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{m}}{2}) + C

作图

流行的例子

integral of (6x^3)/(x-1)

\int \frac{6 x ^{3}}{x - 1} d x

integral of 1/((9-16x^2)^{3/2)}

\int \frac{1}{( 9 - 16 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

integral of (x^2)/(x^2+2x+5)

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

integral of 2cos^3(x)sin^5(x)

\int 2 cos^{3} (x) sin^{5} (x) d x

integral of e^{e^r+r}cos(e^r)

\int e^{e^{r} + r} cos (e^{r}) d r