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人気のある微分積分 >

integral of e^t(1-e^t)^2

解

\int e^{t} (1 - e^{t})^{2} d t

解

e^{t} - e^{2 t} + \frac{1}{3} e^{3 t} + C

解答ステップ

\int e^{t} (1 - e^{t})^{2} d t

因数

1 - e^{t} : - (- 1 + e^{t})

= \int e^{t} (- (- 1 + e^{t}))^{2} d t

(- (- 1 + e^{t}))^{2} = (- 1 + e^{t})^{2}

= \int e^{t} (- 1 + e^{t})^{2} d t

u置換積分法を適用する

= \int (- 1 + u)^{2} d u

拡張

(- 1 + u)^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

= \int 1 - 2 u + u^{2} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d u - \int 2 u d u + \int u^{2} d u

\int 1 d u = u

\int 2 u d u = u^{2}

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

= u - u^{2} + \frac{u ^{3}}{3}

代用を戻す

u = e^{t}

= e^{t} - (e^{t})^{2} + \frac{( e ^{t} ) ^{3}}{3}

簡素化

e^{t} - (e^{t})^{2} + \frac{( e ^{t} ) ^{3}}{3} : e^{t} - e^{2 t} + \frac{1}{3} e^{3 t}

= e^{t} - e^{2 t} + \frac{1}{3} e^{3 t}

定数を解答に追加する

= e^{t} - e^{2 t} + \frac{1}{3} e^{3 t} + C

グラフ

人気の例

integral of 1+sin^2(x)csc(x)

\int 1 + sin^{2} (x) csc (x) d x

integral of 1/(sqrt(x)\sqrt{\sqrt{x)+1}}

\int \frac{1}{x x + 1} d x

integral of sec^4(y)tan^3(y)

\int sec^{4} (y) tan^{3} (y) d y

integral of (2x^2+x^4)/(-4x^2)

\int \frac{2 x ^{2} + x ^{4}}{- 4 x ^{2}} d x

integral of x/((x^2sqrt(x^2+1)))

\int \frac{x}{( x ^{2} x ^{2} + 1 )} d x