integral of sin^6(3x)cos^2(3x)

Lösung

\int sin^{6} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

\frac{1}{2304} (90 x - 20 sin^{3} (3 x) cos (3 x) - 15 sin (6 x) - 16 sin^{5} (3 x) cos (3 x) + 96 sin^{7} (3 x) cos (3 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{6} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{6} (u) cos^{2} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{6} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{6} (u) (1 - sin^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sin^{6} (u) (1 - sin^{2} (u)) : sin^{6} (u) - sin^{8} (u)

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{6} (u) - sin^{8} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int sin^{6} (u) d u - \int sin^{8} (u) d u)

\int sin^{6} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

\int sin^{8} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))) - (- \frac{cos ( u ) sin ^{7} ( u )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))))))

Setze in

u = 3 x

ein

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{5} ( 3 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 x) cos (3 x) + \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 x))) - (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{7} ( 3 x )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{5} ( 3 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 x) cos (3 x) + \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 x))))))

Vereinfache

\frac{1}{3} (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{5} ( 3 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 x) cos (3 x) + \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 x))) - (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{7} ( 3 x )}{8} + \frac{7}{8} (- \frac{cos ( 3 x ) sin ^{5} ( 3 x )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (3 x) cos (3 x) + \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 3 x)))))) : \frac{1}{2304} (90 x - 20 sin^{3} (3 x) cos (3 x) - 15 sin (6 x) - 16 sin^{5} (3 x) cos (3 x) + 96 sin^{7} (3 x) cos (3 x))

= \frac{1}{2304} (90 x - 20 sin^{3} (3 x) cos (3 x) - 15 sin (6 x) - 16 sin^{5} (3 x) cos (3 x) + 96 sin^{7} (3 x) cos (3 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2304} (90 x - 20 sin^{3} (3 x) cos (3 x) - 15 sin (6 x) - 16 sin^{5} (3 x) cos (3 x) + 96 sin^{7} (3 x) cos (3 x)) + C

\int x e^{4} d x

\int e^{3 x^{2}} \cdot x^{3} d x

\int \frac{1}{x ^{3} \cdot x ^{2} - 9} d x

\int \frac{cos ( y )}{1 + sin ( y )} d y

\int sin^{3} (t) cos^{6} (t) d t