integral of 8sin^{-3/2}(x)cos^3(x)

Lösung

\int 8 sin^{- \frac{3}{2}} (x) cos^{3} (x) d x

8 (- \frac{2}{sin ( x )} - \frac{2}{3} sin^{\frac{3}{2}} (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int 8 sin^{- \frac{3}{2}} (x) cos^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int sin^{- \frac{3}{2}} (x) cos^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int (1 - sin^{2} (x)) cos (x) sin^{- \frac{3}{2}} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 8 \cdot \int \frac{1 - u ^{2}}{u ^{\frac{3}{2}}} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{\frac{3}{2}}} : \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} - u^{\frac{1}{2}}

= 8 \cdot \int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} - u^{\frac{1}{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (\int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} d u - \int u^{\frac{1}{2}} d u)

\int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} d u = - \frac{2}{u}

\int u^{\frac{1}{2}} d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

= 8 (- \frac{2}{u} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}})

Setze in

u = sin (x)

ein

= 8 (- \frac{2}{sin ( x )} - \frac{2}{3} sin^{\frac{3}{2}} (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (- \frac{2}{sin ( x )} - \frac{2}{3} sin^{\frac{3}{2}} (x)) + C

\int \frac{9 x}{x ^{2} + 1} d x

\int - \frac{1}{5} sin (u) d u

\int \frac{1}{c + e ^{- x}} d x

\int \frac{sec ^{3} ( \frac{1}{x} ) tan ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

\int (8 + x + 7 x^{2} + e^{x}) d x