integral of 1/((x+1)^3*sqrt(x^2+2x))

Lösung

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{3} \cdot x ^{2} + 2 x} d x

\frac{1}{2} (arcsec (x + 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (x + 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{3} x ^{2} + 2 x} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x : (x + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{3} ( x + 1 ) ^{2} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{3} u ^{2} - 1} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (arcsec (x + 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (x + 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arcsec (x + 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (x + 1))) + C

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 8} d x

\int \frac{( x ^{2} + 3 x ) ( 5 x + 3 )}{x} d x

\int \frac{9}{36 - 81 x ^{2}} d x

\int (t^{5} + e^{3 t}) d t

\int (e^{x} + x^{e} + e x + \frac{c}{x} + 7^{x}) d x