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integral of e^{(-x^2)/2}*(-x^3)

解答

\int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} \cdot (- x^{3}) d x

解答

e^{- \frac{x ^{2}}{2}} (x^{2} + 2) + C

求解步骤

\int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} (- x^{3}) d x

化简

= \int - e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x^{3} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x^{3} d x

使用换元积分法

= - \int \frac{e ^{- \frac{u}{2}} u}{2} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- \frac{u}{2}} u d u

使用分布积分法

= - \frac{1}{2} (- 2 e^{- \frac{u}{2}} u - \int - 2 e^{- \frac{u}{2}} d u)

\int - 2 e^{- \frac{u}{2}} d u = 4 e^{- \frac{u}{2}}

= - \frac{1}{2} (- 2 e^{- \frac{u}{2}} u - 4 e^{- \frac{u}{2}})

u = x^{2}

代回

= - \frac{1}{2} (- 2 e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x^{2} - 4 e^{- \frac{x ^{2}}{2}})

化简

- \frac{1}{2} (- 2 e^{- \frac{x ^{2}}{2}} x^{2} - 4 e^{- \frac{x ^{2}}{2}}) : e^{- \frac{x ^{2}}{2}} (x^{2} + 2)

= e^{- \frac{x ^{2}}{2}} (x^{2} + 2)

解答补常数

= e^{- \frac{x ^{2}}{2}} (x^{2} + 2) + C

作图

流行的例子

integral of 1/((cosh(x))^2)

\int \frac{1}{( cosh ( x ) ) ^{2}} d x

integral of (sqrt(2x)+1/(sqrt(2x)))

\int (2 x + \frac{1}{2 x}) d x

integral of (3tan(w)-4cos^2(w))/(cos(w))

\int \frac{3 tan ( w ) - 4 cos ^{2} ( w )}{cos ( w )} d w

integral of 5sin(3x)cos(3x)

\int 5 sin (3 x) cos (3 x) d x

integral of (1+x^2)/1

\int \frac{1 + x ^{2}}{1} d x