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integral de 1/(x^2sqrt(1+2x+3x^2))

Solução

\int \frac{1}{x ^{2} 1 + 2 x + 3 x ^{2}} d x

4 (\frac{1}{32} ln 2 x + 4 + 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 + 2 )} - \frac{1}{32} ln 2 x + 4 - 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 - 2 )}) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{x ^{2} 1 + 2 x + 3 x ^{2}} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{x ^{2} 1 + 2 x + 3 x ^{2}} = x^{- 2} \frac{1}{1 + 2 x + 3}

= \int x^{- 2} \frac{1}{1 + 2 x + 3} d x

Simplificar

x^{- 2} \frac{1}{1 + 2 x + 3} : \frac{1}{x ^{2} 2 x + 4}

= \int \frac{1}{x ^{2} 2 x + 4} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{4}{( u ^{2} - 4 ) ^{2}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} - 4 ) ^{2}} d u

Tirar a fração parcial de

\frac{1}{( u ^{2} - 4 ) ^{2}} : \frac{1}{32 ( u + 2 )} + \frac{1}{16 ( u + 2 ) ^{2}} - \frac{1}{32 ( u - 2 )} + \frac{1}{16 ( u - 2 ) ^{2}}

= 4 \cdot \int \frac{1}{32 ( u + 2 )} + \frac{1}{16 ( u + 2 ) ^{2}} - \frac{1}{32 ( u - 2 )} + \frac{1}{16 ( u - 2 ) ^{2}} d u

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{1}{32 ( u + 2 )} d u + \int \frac{1}{16 ( u + 2 ) ^{2}} d u - \int \frac{1}{32 ( u - 2 )} d u + \int \frac{1}{16 ( u - 2 ) ^{2}} d u)

\int \frac{1}{32 ( u + 2 )} d u = \frac{1}{32} ln ∣ u + 2 ∣

\int \frac{1}{16 ( u + 2 ) ^{2}} d u = - \frac{1}{16 ( u + 2 )}

\int \frac{1}{32 ( u - 2 )} d u = \frac{1}{32} ln ∣ u - 2 ∣

\int \frac{1}{16 ( u - 2 ) ^{2}} d u = - \frac{1}{16 ( u - 2 )}

= 4 (\frac{1}{32} ln ∣ u + 2 ∣ - \frac{1}{16 ( u + 2 )} - \frac{1}{32} ln ∣ u - 2 ∣ - \frac{1}{16 ( u - 2 )})

Substituir na equação

u = 2 x + 4

= 4 (\frac{1}{32} ln 2 x + 4 + 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 + 2 )} - \frac{1}{32} ln 2 x + 4 - 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 - 2 )})

Adicionar uma constante à solução

= 4 (\frac{1}{32} ln 2 x + 4 + 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 + 2 )} - \frac{1}{32} ln 2 x + 4 - 2 - \frac{1}{16 ( 2 x + 4 - 2 )}) + C

\int \frac{x ^{2} + 2}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )} d x

\int \frac{( 1 - cos ( x ) )}{x} d x

\int (x^{2} - 2) e^{- x} d x

\int \frac{x ^{7}}{1 + x ^{8}} d x

\int \frac{3 x + 8}{x ^{3} + 4 x} d x