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integral of 2sin^3(6x)cos^3(6x)

Lösung

\int 2 sin^{3} (6 x) cos^{3} (6 x) d x

\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} cos^{4} (6 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (6 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int 2 sin^{3} (6 x) cos^{3} (6 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{3} (6 x) cos^{3} (6 x) d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{6} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2}) : - v^{3} + v^{5}

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int - v^{3} + v^{5} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{6} (- \int v^{3} d v + \int v^{5} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

= 2 \cdot \frac{1}{6} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{6})

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{6} (- \frac{cos ^{4} ( 6 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 6 x )}{6})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{6} (- \frac{cos ^{4} ( 6 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 6 x )}{6}) : \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} cos^{4} (6 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (6 x))

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} cos^{4} (6 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (6 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} cos^{4} (6 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (6 x)) + C

\int 3 x^{3} e^{3 x^{2}} d x

\int (\frac{1}{t} i + j - t^{\frac{3}{2}} k) d t

\int 30 sec^{4} (x) d x

\int 3 x \cdot cos (3 - x^{2}) d x

\int z^{- 4} d z