integral from 0 to b of xe^{-ax}

解

\int_{0}^{b} x e^{- a x} d x

\frac{- ab e ^{- ab} - e ^{- ab} + 1}{a ^{2}}

解答ステップ

\int_{0}^{b} x e^{- a x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- ab} \frac{e ^{u} u}{a ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int_{0}^{- ab} e^{u} u d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{a ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- ab}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{a ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- ab}

簡素化

\frac{1}{a ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- ab} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- ab}}{a ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- ab}}{a ^{2}}

限度を計算する:

- ab e^{- ab} - e^{- ab} + 1

= \frac{- ab e ^{- ab} - e ^{- ab} + 1}{a ^{2}}