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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 1/(s(s^2+6s+13))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1}{s ( s ^{2} + 6 s + 13 )}

解答

\frac{1}{13} H (t) - \frac{1}{13} e^{- 3 t} cos (2 t) - \frac{3}{26} e^{- 3 t} sin (2 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s ^{2} + 6 s + 13 )}}

将

\frac{1}{s ( s ^{2} + 6 s + 13 )}

用部份分式展开:

\frac{1}{13 s} + \frac{- s - 6}{13 ( s ^{2} + 6 s + 13 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 s} + \frac{- s - 6}{13 ( s ^{2} + 6 s + 13 )}}

展开

\frac{- s - 6}{13 ( s ^{2} + 6 s + 13 )} : - \frac{1}{13} \cdot \frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 4} - \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 s} - \frac{1}{13} \cdot \frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 4} - \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 4}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 s}} - \frac{1}{13} L^{- 1} {\frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 4}} - \frac{3}{13} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{13 s}} : \frac{1}{13} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 3}{( s + 3 ) ^{2} + 4}} : e^{- 3 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 3 ) ^{2} + 4}} : e^{- 3 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{13} H (t) - \frac{1}{13} e^{- 3 t} cos (2 t) - \frac{3}{13} e^{- 3 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

整理

\frac{1}{13} H (t) - \frac{1}{13} e^{- 3 t} cos (2 t) - \frac{3}{13} e^{- 3 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{13} H (t) - \frac{1}{13} e^{- 3 t} cos (2 t) - \frac{3}{26} e^{- 3 t} sin (2 t)

= \frac{1}{13} H (t) - \frac{1}{13} e^{- 3 t} cos (2 t) - \frac{3}{26} e^{- 3 t} sin (2 t)

流行的例子

limit as x approaches 1 of sqrt(10x+15)

x \to 1 lim (10 x + 15)

integral of ((x^2)/4+2x+3)

\int (\frac{x ^{2}}{4} + 2 x + 3) d x

derivative of (ln(6x)/(6x))

\frac{d}{d x} (\frac{ln ( 6 x )}{6 x})

(dy)/(dx)=sqrt(5y)*e^{x+6}

\frac{d y}{d x} = 5 y \cdot e^{x + 6}

derivative of (ln(x)^2(sin(x)))

\frac{d}{d x} ((ln (x))^{2} (sin (x)))