integral from 0 to 1 of (2x+y)^8

解

\int_{0}^{1} (2 x + y)^{8} d x

\frac{9 y ^{8} + 72 y ^{7} + 336 y ^{6} + 1008 y ^{5} + 2016 y ^{4} + 2688 y ^{3} + 2304 y ^{2} + 1152 y + 256}{9}

解答ステップ

\int_{0}^{1} (2 x + y)^{8} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{y}^{y + 2} \frac{u ^{8}}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{y}^{y + 2} u^{8} d u

べき乗則を適用する

= \frac{1}{2} [\frac{u ^{9}}{9}]_{y}^{y + 2}

限度を計算する:

\frac{( y + 2 ) ^{9}}{9} - \frac{y ^{9}}{9}

= \frac{1}{2} (\frac{( y + 2 ) ^{9}}{9} - \frac{y ^{9}}{9})

簡素化

= \frac{9 y ^{8} + 72 y ^{7} + 336 y ^{6} + 1008 y ^{5} + 2016 y ^{4} + 2688 y ^{3} + 2304 y ^{2} + 1152 y + 256}{9}