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integral of (3x)/(sqrt(x^4+6x^2+5))

Lösung

\int \frac{3 x}{x ^{4} + 6 x ^{2} + 5} d x

\frac{3}{2} ln \frac{1}{11} x^{2} + \frac{1}{11} (11 + x^{4}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x}{x ^{4} + 6 x ^{2} + 5} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{x}{x ^{4} + 6 x ^{2} + 5} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{4 u 6 u + u + 5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u 6 u + u + 5} d u

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{u 6 u + u + 5} = u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{6 + u + 5}

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{6 + u + 5} d u

Vereinfache

u^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{6 + u + 5} : \frac{1}{u u + 11}

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u u + 11} d u

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 11} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 11} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \int sec (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 ln tan (arctan (\frac{1}{11} x^{4})) + sec (arctan (\frac{1}{11} x^{4}))

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 ln tan (arctan (\frac{1}{11} x^{4})) + sec (arctan (\frac{1}{11} x^{4})) : \frac{3}{2} ln \frac{1}{11} x^{2} + \frac{1}{11} (11 + x^{4})

= \frac{3}{2} ln \frac{1}{11} x^{2} + \frac{1}{11} (11 + x^{4})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} ln \frac{1}{11} x^{2} + \frac{1}{11} (11 + x^{4}) + C

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3} - 1}{2})

\frac{\partial}{\partial x} (2 x cos (x))

\frac{d ^{4}}{d x ^{4}} (x^{x})

\int e^{\frac{1}{y}} d y

d er i v a t i v e 4 x - 2 x