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人気のある微分積分 >

integral of 3/(1+2e^x-e^{-x)}

解

\int \frac{3}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

解

ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{3}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{1 + 2 e ^{x} - e ^{- x}} d x

u置換積分法を適用する

= 3 \cdot \int \frac{1}{u + 2 u ^{2} - 1} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u + 2 u ^{2} - 1} : \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} - \frac{1}{3 ( u + 1 )}

= 3 \cdot \int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} - \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} d u - \int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u)

\int \frac{2}{3 ( 2 u - 1 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ 2 u - 1 ∣

\int \frac{1}{3 ( u + 1 )} d u = \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 u - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ u + 1 ∣)

代用を戻す

u = e^{x}

= 3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣)

簡素化

3 (\frac{1}{3} ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣) : ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

= ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

定数を解答に追加する

= ln ∣ 2 e^{x} - 1 ∣ - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of ((xe^x))/((1+x)^2)

\int \frac{( x e ^{x} )}{( 1 + x ) ^{2}} d x

integral of (x+1)sqrt(6-x)

\int (x + 1) 6 - x d x

limit as x approaches-3-of sqrt(x^3+27)

x \to - 3 - lim (x^{3} + 27)

f (x) = \frac{1}{3 x ^{2}}

テイラー log_{10}(x+1)

t a y l or lo g_{10} (x + 1)