интеграл от te^{-i2pift}

Решение

\int t e^{- i 2 π f t} d t

\frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (cos (2 π f t) + 2 π f t sin (2 π f t)) + i \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (- sin (2 π f t) + 2 π f t cos (2 π f t)) + C

Шаги решения

\int t e^{- i 2 π f t} d t

Применить подстановку интеграла

= \int - \frac{e ^{u} u}{4 π ^{2} f ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

Применить интегрирование по частям

= - \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= - \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

Делаем обратную замену

u = - 2 f i t π

= - \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (e^{- 2 f i t π} (- 2 f i t π) - e^{- 2 f i t π})

Упростите

- \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (e^{- 2 f i t π} (- 2 f i t π) - e^{- 2 f i t π}) : \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (cos (2 π f t) + 2 π f t sin (2 π f t)) + i \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (- sin (2 π f t) + 2 π f t cos (2 π f t))

= \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (cos (2 π f t) + 2 π f t sin (2 π f t)) + i \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (- sin (2 π f t) + 2 π f t cos (2 π f t))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (cos (2 π f t) + 2 π f t sin (2 π f t)) + i \frac{1}{4 π ^{2} f ^{2}} (- sin (2 π f t) + 2 π f t cos (2 π f t)) + C