inverselaplace 1/((s+1)(s^2+2s+10))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 10 )}

\frac{1}{9} e^{- t} - \frac{1}{9} e^{- t} cos (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 10 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 2 s + 10 )} : \frac{1}{9 ( s + 1 )} + \frac{- s - 1}{9 ( s ^{2} + 2 s + 10 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{9 ( s + 1 )} + \frac{- s - 1}{9 ( s ^{2} + 2 s + 10 )}}

拡張

\frac{- s - 1}{9 ( s ^{2} + 2 s + 10 )} : \frac{1}{9} \cdot \frac{- ( s + 1 )}{( s + 1 ) ^{2} + 9}

= L^{- 1} {\frac{1}{9 ( s + 1 )} + \frac{1}{9} \cdot \frac{- ( s + 1 )}{( s + 1 ) ^{2} + 9}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{9 ( s + 1 )}} + \frac{1}{9} L^{- 1} {\frac{- ( s + 1 )}{( s + 1 ) ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{1}{9 ( s + 1 )}} : \frac{1}{9} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{- ( s + 1 )}{( s + 1 ) ^{2} + 9}} : - e^{- t} cos (3 t)

= \frac{1}{9} e^{- t} + \frac{1}{9} (- e^{- t} cos (3 t))

改良

\frac{1}{9} e^{- t} + \frac{1}{9} (- e^{- t} cos (3 t)) : \frac{1}{9} e^{- t} - \frac{1}{9} e^{- t} cos (3 t)

= \frac{1}{9} e^{- t} - \frac{1}{9} e^{- t} cos (3 t)