интеграл от tan^5(2x)sec^4(2x)

Решение

\int tan^{5} (2 x) sec^{4} (2 x) d x

\frac{1}{2} (\frac{tan ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{tan ^{8} ( 2 x )}{8}) + C

Шаги решения

\int tan^{5} (2 x) sec^{4} (2 x) d x

Применить подстановку интеграла

: \int tan^{5} (u) sec^{4} (u) \frac{1}{2} d u

= \int tan^{5} (u) sec^{4} (u) \frac{1}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int tan^{5} (u) sec^{4} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{2} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) tan^{5} (u) d u

Применить подстановку интеграла

: \int v^{5} (1 + v^{2}) d v

= \frac{1}{2} \cdot \int v^{5} (1 + v^{2}) d v

Расширить

v^{5} (1 + v^{2}) : v^{5} + v^{7}

= \frac{1}{2} \cdot \int v^{5} + v^{7} d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int v^{5} d v + \int v^{7} d v)

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

= \frac{1}{2} (\frac{v ^{6}}{6} + \frac{v ^{8}}{8})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} (\frac{tan ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{tan ^{8} ( 2 x )}{8})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (\frac{tan ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{tan ^{8} ( 2 x )}{8}) + C