integral of 1/2 (3x-3)^8

解

\int \frac{1}{2} (3 x - 3)^{8} d x

\frac{1}{2} (729 x^{9} - 6561 x^{8} + 26244 x^{7} - 61236 x^{6} + 91854 x^{5} - 91854 x^{4} + 61236 x^{3} - 26244 x^{2} + 6561 x) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{2} (3 x - 3)^{8} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int (3 x - 3)^{8} d x

拡張

(3 x - 3)^{8} : 6561 x^{8} - 52488 x^{7} + 183708 x^{6} - 367416 x^{5} + 459270 x^{4} - 367416 x^{3} + 183708 x^{2} - 52488 x + 6561

= \frac{1}{2} \cdot \int 6561 x^{8} - 52488 x^{7} + 183708 x^{6} - 367416 x^{5} + 459270 x^{4} - 367416 x^{3} + 183708 x^{2} - 52488 x + 6561 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 6561 x^{8} d x - \int 52488 x^{7} d x + \int 183708 x^{6} d x - \int 367416 x^{5} d x + \int 459270 x^{4} d x - \int 367416 x^{3} d x + \int 183708 x^{2} d x - \int 52488 x d x + \int 6561 d x)

\int 6561 x^{8} d x = 729 x^{9}

\int 52488 x^{7} d x = 6561 x^{8}

\int 183708 x^{6} d x = 26244 x^{7}

\int 367416 x^{5} d x = 61236 x^{6}

\int 459270 x^{4} d x = 91854 x^{5}

\int 367416 x^{3} d x = 91854 x^{4}

\int 183708 x^{2} d x = 61236 x^{3}

\int 52488 x d x = 26244 x^{2}

\int 6561 d x = 6561 x

= \frac{1}{2} (729 x^{9} - 6561 x^{8} + 26244 x^{7} - 61236 x^{6} + 91854 x^{5} - 91854 x^{4} + 61236 x^{3} - 26244 x^{2} + 6561 x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (729 x^{9} - 6561 x^{8} + 26244 x^{7} - 61236 x^{6} + 91854 x^{5} - 91854 x^{4} + 61236 x^{3} - 26244 x^{2} + 6561 x) + C