integral of (x^3+x)e^{-4x}

解

\int (x^{3} + x) e^{- 4 x} d x

- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{16} e^{- 4 x} x^{2} - \frac{11}{32} e^{- 4 x} x - \frac{11}{128} e^{- 4 x} + C

解答ステップ

\int (x^{3} + x) e^{- 4 x} d x

拡張

(x^{3} + x) e^{- 4 x} : e^{- 4 x} x^{3} + e^{- 4 x} x

= \int e^{- 4 x} x^{3} + e^{- 4 x} x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 4 x} x^{3} d x + \int e^{- 4 x} x d x

\int e^{- 4 x} x^{3} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{128} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1)

\int e^{- 4 x} x d x = \frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x})

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{128} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x})

簡素化

- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{128} e^{- 4 x} (8 x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}) : - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{16} e^{- 4 x} x^{2} - \frac{11}{32} e^{- 4 x} x - \frac{11}{128} e^{- 4 x}

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{16} e^{- 4 x} x^{2} - \frac{11}{32} e^{- 4 x} x - \frac{11}{128} e^{- 4 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x^{3} - \frac{3}{16} e^{- 4 x} x^{2} - \frac{11}{32} e^{- 4 x} x - \frac{11}{128} e^{- 4 x} + C