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integral de ((sec(x))/(1+tan(x)))^2

Solución

\int (\frac{sec ( x )}{1 + tan ( x )})^{2} d x

- \frac{1}{tan ( x ) + 1} + C

Pasos de solución

\int (\frac{sec ( x )}{1 + tan ( x )})^{2} d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \int \frac{sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}} d x

Simplificar

\frac{sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}} : \frac{1}{1 + sin ( 2 x )}

= \int \frac{1}{1 + sin ( 2 x )} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{2 ( 1 + sin ( u ) )} d u

= \int \frac{1}{2 ( 1 + sin ( u ) )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1 + sin ( u )} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{2}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{1 + v ^{2} + 2 v} d v

Completar el cuadrado

1 + v^{2} + 2 v : (v + 1)^{2}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{( v + 1 ) ^{2}} d v

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{w ^{2}} d w

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2}} d w

Aplicar la regla de la potencia

: - \frac{1}{w}

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{w})

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{2 x}{2} ) + 1})

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{2 x}{2} ) + 1}) : - \frac{1}{tan ( x ) + 1}

= - \frac{1}{tan ( x ) + 1}

Agregar una constante a la solución

= - \frac{1}{tan ( x ) + 1} + C

\int 5 x^{4} d x

\frac{d}{d x} (e^{x s i n (3 x)})

\int_{0}^{5} \frac{2 t}{( t - 6 ) ^{2}} d t

\int \frac{x + 2}{x ^{2} + 6 x + 10} d x

x y^{^{'}} + 3 y = \frac{( e ^{x} )}{x}