inverselaplace ((s+2))/(s^2+s+1)

解

逆ラプラス

\frac{( s + 2 )}{s ^{2} + s + 1}

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( s + 2 )}{s ^{2} + s + 1}}

拡張

\frac{s + 2}{s ^{2} + s + 1} : \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} + \frac{3}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

改良

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2}) : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})