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extreme f(x,y)=(xy)/(1+e^{x-y)}

解

端点

f (x, y) = \frac{x y}{1 + e ^{x - y}}

解

最小値 \frac{W _{0} ( \frac{2}{e ^{2}} ) + 2}{2}, - \frac{2 ln ( \frac{2}{W _{0} ( 2 e ^{- 2} )} ) - W _{0} ( 2 e ^{- 2} ) - 2}{2}, 鞍点 (0, 0)

解答ステップ

臨界点を求める:

\frac{W _{0} ( \frac{2}{e ^{2}} ) + 2}{2}, - \frac{2 ln ( \frac{2}{W _{0} ( 2 e ^{- 2} )} ) - W _{0} ( 2 e ^{- 2} ) - 2}{2}, (0, 0)

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{e ^{x - y} x ( e ^{x - y} y - y + 2 e ^{x - y} + 2 )}{( 1 + e ^{x - y} ) ^{3}}

D (x, y) = \frac{- e ^{2 x - 2 y} x y ( x - e ^{x - y} x + 2 e ^{x - y} + 2 ) ( e ^{x - y} y - y + 2 e ^{x - y} + 2 ) - ( - e ^{2 (x - y)} x y + e ^{x - y} x y + e ^{2 (x - y)} y + e ^{x - y} y - e ^{2 (x - y)} x - e ^{x - y} x + e ^{2 (x - y)} + 2 e ^{x - y} + 1 ) ^{2}}{( e ^{x - y} + 1 ) ^{6}}

各臨界点での符号を確認する

臨界点を確認する

\frac{W _{0} ( \frac{2}{e ^{2}} ) + 2}{2}, - \frac{2 ln ( \frac{2}{W _{0} ( 2 e ^{- 2} )} ) - W _{0} ( 2 e ^{- 2} ) - 2}{2} :

最小値

臨界点を確認する

(0, 0) :

鞍点

最小値 \frac{W _{0} ( \frac{2}{e ^{2}} ) + 2}{2}, - \frac{2 ln ( \frac{2}{W _{0} ( 2 e ^{- 2} )} ) - W _{0} ( 2 e ^{- 2} ) - 2}{2}, 鞍点 (0, 0)

グラフ

人気の例

extreme f(x)=-x^3+4xy-2y^2+1

e x t re m e f (x) = - x^{3} + 4 x y - 2 y^{2} + 1

extreme f(x,y)=x^3+y^3-18xy

e x t re m e f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 18 x y

extreme f(x)=x^2+8/x

e x t re m e f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}

extreme f(t)=2t+3e^{-kt}

e x t re m e f (t) = 2 t + 3 e^{- k t}

extreme f(x,y)=100-x^2-y^2

e x t re m e f (x, y) = 100 - x^{2} - y^{2}