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5sin(x)-5cos(x)=2

Solución

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

Solución

x = - 2.64295 \dots + 2 πn, x = 1.07215 \dots + 2 πn

Grados

x = - 151.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 61.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

Sumar

5 cos (x)

a ambos lados

5 sin (x) = 2 + 5 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(5 sin (x))^{2} = (2 + 5 cos (x))^{2}

Restar

(2 + 5 cos (x))^{2}

de ambos lados

25 sin^{2} (x) - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) : - 50 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 21

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x)

Simplificar

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) : - 50 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 21

- 4 - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 20 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) - 4 + 25

Sumar elementos similares:

- 25 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 50 cos^{2} (x)

= - 20 cos (x) - 50 cos^{2} (x) - 4 + 25

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 25 = 21

= - 50 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 21

= - 50 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 21

= - 50 cos^{2} (x) - 20 cos (x) + 21

21 - 20 cos (x) - 50 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

21 - 20 cos (x) - 50 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 50, b = - 20, c = 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21 = 1046

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 20)^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 50 \cdot 21 = 4200

= 2 0^{2} + 4200

2 0^{2} = 400

= 400 + 4200

Sumar:

400 + 4200 = 4600

= 4600

Descomposición en factores primos de

4600 : 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

4600

4600

divida por

24600 = 2300 \cdot 2

= 2 \cdot 2300

2300

divida por

22300 = 1150 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1150

1150

divida por

21150 = 575 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 575

575

divida por

5575 = 115 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 115

115

divida por

5115 = 23 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

2, 5, 23

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2 \cdot 23

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 5^{2} 2 \cdot 23

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 5^{2} 2 \cdot 23

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 5 2 \cdot 23

Simplificar

= 1046

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm 10 46}{2 ( - 50 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}, u_{2} = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

u = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )} : - \frac{2 + 46}{10}

\frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 + 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 + 10 46}{- 100}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20 + 10 46}{100}

Cancelar

\frac{20 + 10 46}{100} : \frac{2 + 46}{10}

\frac{20 + 10 46}{100}

Factorizar

20 + 1046 : 10 (2 + 46)

20 + 1046

Reescribir como

= 10 \cdot 2 + 1046

Factorizar el termino común

10

= 10 (2 + 46)

= \frac{10 ( 2 + 46 )}{100}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{2 + 46}{10}

= - \frac{2 + 46}{10}

u = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )} : \frac{46 - 2}{10}

\frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 - 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 - 10 46}{- 100}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

20 - 1046 = - (1046 - 20)

= \frac{10 46 - 20}{100}

Factorizar

1046 - 20 : 10 (46 - 2)

1046 - 20

Reescribir como

= 1046 - 10 \cdot 2

Factorizar el termino común

10

= 10 (46 - 2)

= \frac{10 ( 46 - 2 )}{100}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{46 - 2}{10}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (x) = \frac{46 - 2}{10}

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (x) = \frac{46 - 2}{10}

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10} : x = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{2 + 46}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (x) = \frac{46 - 2}{10} : x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

cos (x) = \frac{46 - 2}{10}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{46 - 2}{10}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{46 - 2}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

por

x = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

por

x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

por

x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 5 cos (x) = 2

por

x = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

- 6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, x = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.64295 \dots + 2 πn, x = 1.07215 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

6cos^2(x)-cos(x)-2=0

6 cos^{2} (x) - cos (x) - 2 = 0

cos(x)-sin(x)=0,\forall 0<= x<2pi

cos (x) - sin (x) = 0, \forall 0 \leq x < 2 π

3sec(θ)+2=8

3 sec (θ) + 2 = 8

sin^2(x)=0.75

sin^{2} (x) = 0.75

-3tan(θ)=sqrt(3)

- 3 tan (θ) = 3