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-7sin^2(θ)+4sin(θ)+7=0

Solución

- 7 sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) + 7 = 0

Solución

θ = - 0.85458 \dots + 2 πn, θ = π + 0.85458 \dots + 2 πn

Grados

θ = - 48.96436 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 228.96436 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

- 7 sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) + 7 = 0

Usando el método de sustitución

- 7 sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) + 7 = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 7 u^{2} + 4 u + 7 = 0

- 7 u^{2} + 4 u + 7 = 0 : u = - \frac{- 2 + 53}{7}, u = \frac{2 + 53}{7}

- 7 u^{2} + 4 u + 7 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 7 u^{2} + 4 u + 7 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 7, b = 4, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 7}{2 ( - 7 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 7}{2 ( - 7 )}

4^{2} - 4 (- 7) \cdot 7 = 253

4^{2} - 4 (- 7) \cdot 7

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 7

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 7 \cdot 7 = 196

= 4^{2} + 196

4^{2} = 16

= 16 + 196

Sumar:

16 + 196 = 212

= 212

Descomposición en factores primos de

212 : 2^{2} \cdot 53

212

212

divida por

2212 = 106 \cdot 2

= 2 \cdot 106

106

divida por

2106 = 53 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 53

2, 53

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 53

= 2^{2} \cdot 53

= 2^{2} \cdot 53

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 53 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 253

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 53}{2 ( - 7 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 2 53}{2 ( - 7 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 53}{2 ( - 7 )}

u = \frac{- 4 + 2 53}{2 ( - 7 )} : - \frac{- 2 + 53}{7}

\frac{- 4 + 2 53}{2 ( - 7 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 2 53}{- 2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 4 + 2 53}{- 14}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 2 53}{14}

Cancelar

\frac{- 4 + 2 53}{14} : \frac{53 - 2}{7}

\frac{- 4 + 2 53}{14}

Factorizar

- 4 + 253 : 2 (- 2 + 53)

- 4 + 253

Reescribir como

= - 2 \cdot 2 + 253

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 2 + 53)

= \frac{2 ( - 2 + 53 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 2 + 53}{7}

= - \frac{53 - 2}{7}

= - \frac{- 2 + 53}{7}

u = \frac{- 4 - 2 53}{2 ( - 7 )} : \frac{2 + 53}{7}

\frac{- 4 - 2 53}{2 ( - 7 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 2 53}{- 2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 4 - 2 53}{- 14}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 253 = - (4 + 253)

= \frac{4 + 2 53}{14}

Factorizar

4 + 253 : 2 (2 + 53)

4 + 253

Reescribir como

= 2 \cdot 2 + 253

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 53)

= \frac{2 ( 2 + 53 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 + 53}{7}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 2 + 53}{7}, u = \frac{2 + 53}{7}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7}, sin (θ) = \frac{2 + 53}{7}

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7}, sin (θ) = \frac{2 + 53}{7}

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7} : θ = arcsin (- \frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{- 2 + 53}{7}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2 + 53}{7} :

Sin solución

sin (θ) = \frac{2 + 53}{7}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (- \frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 2 + 53}{7}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = - 0.85458 \dots + 2 πn, θ = π + 0.85458 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-2sin^2(x)=-3sin(x)+1

- 2 sin^{2} (x) = - 3 sin (x) + 1

sin(x)= 6/10

sin (x) = \frac{6}{10}

sin(3x)=sqrt(3)cos(3x)

sin (3 x) = 3 cos (3 x)

(9sin(2x)+9cos(2x))^2=81

(9 sin (2 x) + 9 cos (2 x))^{2} = 81

-2cos^2(θ)+sin(θ)-3=-4

- 2 cos^{2} (θ) + sin (θ) - 3 = - 4