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Beliebt Trigonometrie >

cot^2(θ)+csc(θ)=1

Lösung

cot^{2} (θ) + csc (θ) = 1

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cot^{2} (θ) + csc (θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cot^{2} (θ) + csc (θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cot^{2} (θ) + csc (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - 1 + csc^{2} (θ) - 1 + csc (θ)

Vereinfache

- 1 + csc^{2} (θ) - 1 + csc (θ) : csc^{2} (θ) + csc (θ) - 2

- 1 + csc^{2} (θ) - 1 + csc (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= csc^{2} (θ) + csc (θ) - 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= csc^{2} (θ) + csc (θ) - 2

= csc^{2} (θ) + csc (θ) - 2

- 2 + csc (θ) + csc^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + csc (θ) + csc^{2} (θ) = 0

Angenommen:

csc (θ) = u

- 2 + u + u^{2} = 0

- 2 + u + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 2

- 2 + u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1} : - 2

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - 2

Setze in

u = csc (θ)

ein

csc (θ) = 1, csc (θ) = - 2

csc (θ) = 1, csc (θ) = - 2

csc (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

csc (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = 1

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

csc (θ) = - 2 : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = - 2

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = - 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5cos^2(θ)-2cos(θ)=0

5 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) = 0

tan^2(x)-2tan(x)-3=0

tan^{2} (x) - 2 tan (x) - 3 = 0

6cos(x)-3=0

6 cos (x) - 3 = 0

cos^2(x)-1=0,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

2tan^2(x)-tan(x)-6=0

2 tan^{2} (x) - tan (x) - 6 = 0