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Beliebt Trigonometrie >

-3cos(2θ)+7cos(θ)-10=-5

Lösung

- 3 cos (2 θ) + 7 cos (θ) - 10 = - 5

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 3 cos (2 θ) + 7 cos (θ) - 10 = - 5

Subtrahiere

- 5

von beiden Seiten

7 cos (θ) - 3 cos (2 θ) - 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 - 3 cos (2 θ) + 7 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 5 - 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Vereinfache

- 5 - 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ) : 7 cos (θ) - 6 cos^{2} (θ) - 2

- 5 - 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Multipliziere aus

- 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : - 6 cos^{2} (θ) + 3

- 3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - (- 3) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 3 \cdot 1

Vereinfache

- 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 3 \cdot 1 : - 6 cos^{2} (θ) + 3

- 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 6 cos^{2} (θ) + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 6 cos^{2} (θ) + 3

= - 6 cos^{2} (θ) + 3

= - 5 - 6 cos^{2} (θ) + 3 + 7 cos (θ)

Vereinfache

- 5 - 6 cos^{2} (θ) + 3 + 7 cos (θ) : 7 cos (θ) - 6 cos^{2} (θ) - 2

- 5 - 6 cos^{2} (θ) + 3 + 7 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) - 5 + 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= 7 cos (θ) - 6 cos^{2} (θ) - 2

= 7 cos (θ) - 6 cos^{2} (θ) - 2

= 7 cos (θ) - 6 cos^{2} (θ) - 2

- 2 - 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 6 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

- 2 - 6 u^{2} + 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = 7, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 2 )}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 2 )}{2 ( - 6 )}

7^{2} - 4 (- 6) (- 2) = 1

7^{2} - 4 (- 6) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 48 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 1}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 7 + 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 + 1}{- 2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 1 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )} : \frac{2}{3}

\frac{- 7 - 1}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 7 - 1}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 1 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(2θ)=-9cos(θ)-6

3 cos (2 θ) = - 9 cos (θ) - 6

5sin(x)cos(x)+cos(x)=0

5 sin (x) cos (x) + cos (x) = 0

1+cos(θ)=2sin^2(θ)

1 + cos (θ) = 2 sin^{2} (θ)

cos(2a)=-4/7

cos (2 a) = - \frac{4}{7}

cos(pi/(60))-cos(pi/(60))=sin(x)

cos (\frac{π}{60}) - cos (\frac{π}{60}) = sin (x)