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Beliebt Trigonometrie >

5sin(2θ)=9tan(θ)

Lösung

5 sin (2 θ) = 9 tan (θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2.81984 \dots + 2 πn, θ = - 2.81984 \dots + 2 πn, θ = 0.32175 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.32175 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 161.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 161.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18.43494 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 341.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (2 θ) = 9 tan (θ)

Subtrahiere

9 tan (θ)

von beiden Seiten

5 sin (2 θ) - 9 tan (θ) = 0

Drücke mit sin, cos aus

5 sin (2 θ) - 9 tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - 9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere

9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

= 5 sin (2 θ) - \frac{9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

5 sin (2 θ) = \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - 9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{- 9 sin ( θ ) + 5 cos ( θ ) sin ( 2 θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 9 sin (θ) + 5 cos (θ) sin (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 sin (θ) + 5 cos (θ) sin (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - 9 sin (θ) + 5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) = 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 cos (θ) sin (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 10 sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 10 sin (θ) cos^{2} (θ)

= - 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ) : sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (- 9 + 10 cos^{2} (θ))

Faktorisiere

10 cos^{2} (θ) - 9 : (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

10 cos^{2} (θ) - 9

Schreibe

10 cos^{2} (θ) - 9

um:

(10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

10 cos^{2} (θ) - 9

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= (10)^{2} cos^{2} (θ) - 9

Schreibe

9

um:

3^{2}

= (10)^{2} cos^{2} (θ) - 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(10)^{2} cos^{2} (θ) = (10 cos (θ))^{2}

= (10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

= (10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(10 cos (θ))^{2} - 3^{2} = (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

= (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

= sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 10 cos (θ) + 3 = 0 or 10 cos (θ) - 3 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

10 cos (θ) + 3 = 0 : θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

10 cos (θ) + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

10 cos (θ) + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

10 cos (θ) = - 3

10 cos (θ) = - 3

Teile beide Seiten durch

10

10 cos (θ) = - 3

Teile beide Seiten durch

10

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{- 3}{10}

Vereinfache

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{- 3}{10}

Vereinfache

\frac{10 cos ( θ )}{10} : cos (θ)

\frac{10 cos ( θ )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= cos (θ)

Vereinfache

\frac{- 3}{10} : - \frac{3 10}{10}

\frac{- 3}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{10}

Rationalisiere

- \frac{3}{10} : - \frac{3 10}{10}

- \frac{3}{10}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{10}{10}

= - \frac{3 10}{10 10}

1010 = 10

1010

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1010 = 10

= 10

= - \frac{3 10}{10}

= - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) - 3 = 0 : θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

10 cos (θ) - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

10 cos (θ) - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

10 cos (θ) = 3

10 cos (θ) = 3

Teile beide Seiten durch

10

10 cos (θ) = 3

Teile beide Seiten durch

10

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{3}{10}

Vereinfache

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{3}{10}

Vereinfache

\frac{10 cos ( θ )}{10} : cos (θ)

\frac{10 cos ( θ )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= cos (θ)

Vereinfache

\frac{3}{10} : \frac{3 10}{10}

\frac{3}{10}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{10}{10}

= \frac{3 10}{10 10}

1010 = 10

1010

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1010 = 10

= 10

= \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2.81984 \dots + 2 πn, θ = - 2.81984 \dots + 2 πn, θ = 0.32175 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.32175 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

0=1-2sin(x)

0 = 1 - 2 sin (x)

4sin^2(2x)=3

4 sin^{2} (2 x) = 3

cos(θ/2)=-1/2

cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{1}{2}

tan(a)= 1/2

tan (a) = \frac{1}{2}

2+2sin(θ)=6sin(θ)

2 + 2 sin (θ) = 6 sin (θ)