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受欢迎的三角函数 >

5sin(2θ)=9tan(θ)

解答

5 sin (2 θ) = 9 tan (θ)

解答

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2.81984 \dots + 2 πn, θ = - 2.81984 \dots + 2 πn, θ = 0.32175 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.32175 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 161.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 161.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18.43494 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 341.56505 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

5 sin (2 θ) = 9 tan (θ)

两边减去

9 tan (θ)

5 sin (2 θ) - 9 tan (θ) = 0

用 sin, cos 表示

5 sin (2 θ) - 9 tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - 9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

5 sin (2 θ) - 9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

乘

9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

9 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

= 5 sin (2 θ) - \frac{9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

将项转换为分式:

5 sin (2 θ) = \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - sin ( θ ) \cdot 9}{cos ( θ )}

= \frac{5 sin ( 2 θ ) cos ( θ ) - 9 sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{- 9 sin ( θ ) + 5 cos ( θ ) sin ( 2 θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 9 sin (θ) + 5 cos (θ) sin (2 θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 9 sin (θ) + 5 cos (θ) sin (2 θ)

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - 9 sin (θ) + 5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) = 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

5 cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

数字相乘:

5 \cdot 2 = 10

= 10 cos (θ) sin (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 10 sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= 10 sin (θ) cos^{2} (θ)

= - 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

分解

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ) : sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

- 9 sin (θ) + 10 cos^{2} (θ) sin (θ)

因式分解出通项

sin (θ)

= sin (θ) (- 9 + 10 cos^{2} (θ))

分解

10 cos^{2} (θ) - 9 : (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

10 cos^{2} (θ) - 9

将

10 cos^{2} (θ) - 9

改写为

(10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

10 cos^{2} (θ) - 9

使用根式运算法则:

a = (a)^{2}

10 = (10)^{2}

= (10)^{2} cos^{2} (θ) - 9

将

9

改写为

3^{2}

= (10)^{2} cos^{2} (θ) - 3^{2}

使用指数法则:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(10)^{2} cos^{2} (θ) = (10 cos (θ))^{2}

= (10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

= (10 cos (θ))^{2} - 3^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(10 cos (θ))^{2} - 3^{2} = (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

= (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

= sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3)

sin (θ) (10 cos (θ) + 3) (10 cos (θ) - 3) = 0

分别求解每个部分

sin (θ) = 0 or 10 cos (θ) + 3 = 0 or 10 cos (θ) - 3 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

sin (θ) = 0

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

解

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

10 cos (θ) + 3 = 0 : θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) + 3 = 0

将

3

到右边

10 cos (θ) + 3 = 0

两边减去

3

10 cos (θ) + 3 - 3 = 0 - 3

化简

10 cos (θ) = - 3

10 cos (θ) = - 3

两边除以

10

10 cos (θ) = - 3

两边除以

10

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{- 3}{10}

化简

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{- 3}{10}

化简

\frac{10 cos ( θ )}{10} : cos (θ)

\frac{10 cos ( θ )}{10}

约分:

10

= cos (θ)

化简

\frac{- 3}{10} : - \frac{3 10}{10}

\frac{- 3}{10}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{10}

- \frac{3}{10}

有理化:

- \frac{3 10}{10}

- \frac{3}{10}

乘以共轭根式

\frac{10}{10}

= - \frac{3 10}{10 10}

1010 = 10

1010

使用根式运算法则:

a a = a

1010 = 10

= 10

= - \frac{3 10}{10}

= - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

使用反三角函数性质

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

cos (θ) = - \frac{3 10}{10}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) - 3 = 0 : θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) - 3 = 0

将

3

到右边

10 cos (θ) - 3 = 0

两边加上

3

10 cos (θ) - 3 + 3 = 0 + 3

化简

10 cos (θ) = 3

10 cos (θ) = 3

两边除以

10

10 cos (θ) = 3

两边除以

10

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{3}{10}

化简

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{3}{10}

化简

\frac{10 cos ( θ )}{10} : cos (θ)

\frac{10 cos ( θ )}{10}

约分:

10

= cos (θ)

化简

\frac{3}{10} : \frac{3 10}{10}

\frac{3}{10}

乘以共轭根式

\frac{10}{10}

= \frac{3 10}{10 10}

1010 = 10

1010

使用根式运算法则:

a a = a

1010 = 10

= 10

= \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

cos (θ) = \frac{3 10}{10}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

合并所有解

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3 10}{10}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 2.81984 \dots + 2 πn, θ = - 2.81984 \dots + 2 πn, θ = 0.32175 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.32175 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

0 = 1 - 2 sin (x)

4 sin^{2} (2 x) = 3

cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{1}{2}

tan (a) = \frac{1}{2}

2+2sin(θ)=6sin(θ)

2 + 2 sin (θ) = 6 sin (θ)