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Beliebt Trigonometrie >

8(1-cos(θ))=sin^2(θ)

Lösung

8 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

8 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 8

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 8

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 8 : cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) + 7

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 8

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 8 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 8

Multipliziere aus

8 (1 - cos (θ)) : 8 - 8 cos (θ)

8 (1 - cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = cos (θ)

= 8 \cdot 1 - 8 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 8 - 8 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (θ) + 8 - 8 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) + 7

- 1 + cos^{2} (θ) + 8 - 8 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) - 1 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 8 = 7

= cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) + 7

= cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) + 7

= cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) + 7

7 + cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

7 + cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

7 + u^{2} - 8 u = 0

7 + u^{2} - 8 u = 0 : u = 7, u = 1

7 + u^{2} - 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 8 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 8 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 8, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}{2 \cdot 1}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 6

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 7 = 28

= 8^{2} - 28

8^{2} = 64

= 64 - 28

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 28 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 6}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 8 ) + 6}{2 \cdot 1} : 7

\frac{- ( - 8 ) + 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 6}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

8 + 6 = 14

= \frac{14}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{14}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{14}{2} = 7

= 7

u = \frac{- ( - 8 ) - 6}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 8 ) - 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 6}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 6 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 7, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 7, cos (θ) = 1

cos (θ) = 7, cos (θ) = 1

cos (θ) = 7 :

Keine Lösung

cos (θ) = 7

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,cos(x)=sin(x)

so l v e f or x, cos (x) = sin (x)

cos(2θ)-cos(θ)=-1

cos (2 θ) - cos (θ) = - 1

-6cos(θ)+4=4

- 6 cos (θ) + 4 = 4

4cos(x)=-sin^2(x)+4

4 cos (x) = - sin^{2} (x) + 4

7cos^2(θ)+5=2sin(θ)+7

7 cos^{2} (θ) + 5 = 2 sin (θ) + 7