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Populaire Trigonométrie >

sin(a)+1=2sqrt(1-sin^2(a))

Solution

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Solution

a = 0.64350 \dots + 2 πn, a = π - 0.64350 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Degrés

a = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Résoudre par substitution

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Soit :

sin (a) = u

u + 1 = 2 1 - u^{2}

u + 1 = 2 1 - u^{2} : u = \frac{3}{5}, u = - 1

u + 1 = 2 1 - u^{2}

Mettre les deux côtés au carré:

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

u + 1 = 2 1 - u^{2}

(u + 1)^{2} = (2 1 - u^{2})^{2}

Développer

(u + 1)^{2} : u^{2} + 2 u + 1

(u + 1)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Simplifier

u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2} : u^{2} + 2 u + 1

u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u + 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= u^{2} + 2 u + 1

= u^{2} + 2 u + 1

Développer

(2 1 - u^{2})^{2} : 4 - 4 u^{2}

(2 1 - u^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (1 - u^{2})^{2}

(1 - u^{2})^{2} : 1 - u^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 1 - u^{2}

= 2^{2} (1 - u^{2})

2^{2} = 4

= 4 (1 - u^{2})

Développer

4 (1 - u^{2}) : 4 - 4 u^{2}

4 (1 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = u^{2}

= 4 \cdot 1 - 4 u^{2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 u^{2}

= 4 - 4 u^{2}

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Résoudre

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2} : u = \frac{3}{5}, u = - 1

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Déplacer

4 u^{2}

vers la gauche

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Ajouter

4 u^{2}

aux deux côtés

u^{2} + 2 u + 1 + 4 u^{2} = 4 - 4 u^{2} + 4 u^{2}

Simplifier

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

Déplacer

4

vers la gauche

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

Soustraire

4

des deux côtés

5 u^{2} + 2 u + 1 - 4 = 4 - 4

Simplifier

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 5, b = 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3) = 8

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Additionner les nombres :

4 + 60 = 64

= 64

Factoriser le nombre :

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 8}{2 \cdot 5}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5} : \frac{3}{5}

\frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 8 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3}{5}

u = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5} : - 1

\frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

Soustraire les nombres :

- 2 - 8 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{3}{5}, u = - 1

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Vérifier les solutions:

u = \frac{3}{5}

vrai

, u = - 1

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

u + 1 = 2 1 - u^{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

u = \frac{3}{5} :

vrai

(\frac{3}{5}) + 1 = 2 1 - (\frac{3}{5})^{2}

(\frac{3}{5}) + 1 = \frac{8}{5}

(\frac{3}{5}) + 1

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= \frac{3}{5} + 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 5}{5}

= \frac{1 \cdot 5}{5} + \frac{3}{5}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 + 3}{5}

1 \cdot 5 + 3 = 8

1 \cdot 5 + 3

Multiplier les nombres :

1 \cdot 5 = 5

= 5 + 3

Additionner les nombres :

5 + 3 = 8

= 8

= \frac{8}{5}

2 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{8}{5}

2 1 - (\frac{3}{5})^{2}

1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

1 - (\frac{3}{5})^{2}

(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}

(\frac{3}{5})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{3 ^{2}}{5 ^{2}}

3^{2} = 9

= \frac{9}{5 ^{2}}

5^{2} = 25

= \frac{9}{25}

= 1 - \frac{9}{25}

Relier

1 - \frac{9}{25} : \frac{16}{25}

1 - \frac{9}{25}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 25}{25}

= \frac{1 \cdot 25}{25} - \frac{9}{25}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 25 - 9}{25}

1 \cdot 25 - 9 = 16

1 \cdot 25 - 9

Multiplier les nombres :

1 \cdot 25 = 25

= 25 - 9

Soustraire les nombres :

25 - 9 = 16

= 16

= \frac{16}{25}

= \frac{16}{25}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{16}{25}

25 = 5

25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{16}{5}

16 = 4

16

Factoriser le nombre :

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

4^{2} = 4

= 4

= \frac{4}{5}

= 2 \cdot \frac{4}{5}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 \cdot 2}{5}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{8}{5}

\frac{8}{5} = \frac{8}{5}

vrai

Insérer

u = - 1 :

vrai

(- 1) + 1 = 2 1 - (- 1)^{2}

(- 1) + 1 = 0

(- 1) + 1

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= - 1 + 1

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 1 = 0

= 0

2 1 - (- 1)^{2} = 0

2 1 - (- 1)^{2}

1 - (- 1)^{2} = 0

1 - (- 1)^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

= 1 - 1

Soustraire les nombres :

1 - 1 = 0

= 0

Appliquer la règle

0 = 0

= 0

= 2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

0 = 0

vrai

Les solutions sont

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Remplacer

u = sin (a)

sin (a) = \frac{3}{5}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{3}{5}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{3}{5} : a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (a) = \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (a) = \frac{3}{5}

Solutions générales pour

sin (a) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (a) = - 1 : a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1

Solutions générales pour

sin (a) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

a = 0.64350 \dots + 2 πn, a = π - 0.64350 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4cos(x)-3=0

4 cos (x) - 3 = 0

cos(θ)cos(2θ)+sin(θ)sin(2θ)= 1/2

cos (θ) cos (2 θ) + sin (θ) sin (2 θ) = \frac{1}{2}

8sin(x)tan(x)+tan(x)=0

8 sin (x) tan (x) + tan (x) = 0

sin(x)-3=cos(x)-3

sin (x) - 3 = cos (x) - 3

sin(x)+4csc(x)+5=0

sin (x) + 4 csc (x) + 5 = 0