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Beliebt Trigonometrie >

3cos^2(x)-4cos(x)+1=0

Lösung

3 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 1 = 0

Lösung

x = 2 πn, x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 1 = 0

Löse mit Substitution

3 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 u^{2} - 4 u + 1 = 0

3 u^{2} - 4 u + 1 = 0 : u = 1, u = \frac{1}{3}

3 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 2

(- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 4^{2} - 12

4^{2} = 16

= 16 - 12

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 12 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

4 + 2 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 3} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 2 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = \frac{1}{3} : x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=0.1

cos (x) = 0.1

3tan(x)=2.4568

3 tan (x) = 2.4568

cos(x)=1.5

cos (x) = 1.5

2/(sqrt(3))cos(3θ)=1,0<= θ<= 2pi

\frac{2}{3} cos (3 θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π

8cos(B)+sqrt(52)=0

8 cos (B) + 52 = 0